cuéntame

¿Cuántos divisores tiene un número natural dado? Primero, observemos que si un número n divide a otro número m, entonces tambiénel opuesto -n del número n divide a m, así que nos basta contar los divisores positivos y, si gusta (no, no le estoy invitando a comer) multiplicar el resultado por dos para tener en cuenta los divisores positivos y negativos. Empecemos con el caso más simple en el que el número es primo: ¿cuántos divisores tiene un número primo p? ¡pues dos!...¿cuántos quiere que tenga? uno es el uno (valga la redundancia) y el otro el propio p. Ahora pongámoslo un poco más difícil: ¿cuántos divisores tiene un producto de dos primos distintos p y q? En este caso la respuesta es 4: los 4 divisores de pq son 1,p,q y pq. Ahora supondrá usted que voy a tratar el caso de un producto de tres primos, ya casi me lo puedo imaginar cerrando el navegador y lanzando improperios contra mi humilde persona. ¡¡¡Pues NO!!!, pasaremos a analizar de un golpe el caso general en el que el número se descompone como producto de primos en la forma m=p₁^i₁ ... p_n^i_n. Los divisores de dicho número se descompondrán a su vez, como ocurre con todos los números naturales, como producto de primos. En dicha descomposición el exponente del primo p₁ no puede pasar de i₁, pues si en en un divisor de m el exponente de p₁ sobrepasara i₁, entonces al ser m igual a ese divisor multiplicado por algo, el exponente de p₁ en m también sobrepasaría i₁, pero dicho exponente es exactamente i₁, sin que sobre ni falte nada, así que no puede ocurrir que el exponente de p₁ en dicho divisor exceda i₁. Análogamente se demuestra que el exponente de p₂ no puede sobrepasar i₂ y así sucesivamente hasta el final. Es decir, que los divisores de m son de la forma p₁^j₁ ... p_n^j_n donde j₁ está entre 0 e i₁, j₂ está entre 0 e i₂, etcétera, etcétera, y finalmente, después de unos cuantos etcéteras, j_n está entre 0 e i_n. ¿Y cuántas formas posibles hay de elegir los "jotas"? Hay i₁+1 formas de elegir j₁, hay i₂+1 formas de elegir j₂ ... hay i_n+1 formas de elegir j_n, y el número de formas de elegir conjuntamente los "jotas" es el producto de dichas cantidades, es decir, (i₁+1)(i₂+1)...(i_n+1), que es el número de divisores que estamos buscando.
Veamos un ejemplo: ¿cuántos divisores tiene 320? Como 320=2⁶.5, en este caso el número de divisores es 7.2=14 Dichos divisores son de la forma 2ⁱ.5^j con i entre 0 y 6 y j entre 0 y 1. Ahora, con un poco de paciencia, se puede decir cuáles son los divisores: 1 (2⁰.5⁰),2 (2¹.5⁰),4 (2².5⁰),8 (2³.5⁰),16 (2⁴.5⁰),32 (2⁵.5⁰),64 (2⁶.5⁰),5 (2⁰.5¹),10 (2¹.5¹),20 (2².5¹),40 (2³.5¹),80 (2⁴.5¹),160 (2⁵.5¹) y 320 (2⁶.5¹).
Para dar una de cal y otra de arena hay que reconocer que el problema de descomponer un número en producto de primos no es sencillo de resolver para números grandes (por "grandes" quiero decir realmente grandes, del orden de varios centenares de dígitos o cuando menos del orden de mis deudas con el banco) y, hoy por hoy, no se conoce ningún algoritmo que permita factorizar un número sin emplear una cantidad indecentemente grande de tiempo.
Moraleja: la bonita fórmula que hemos encontrado para la cantidad de divisores de un número, en la práctica no mejora mucho el método de ir probando con todos los números menores que él e ir contando cuántos lo dividen, ¿pero y lo que nos hemos divertido?
Por último, un ejercicio para que no se aburran: ¿cuántos divisores tiene el número 68992000?