estamos de mudanzas

He creado un nuevo blog, llamado matEHUmor en el que continuaré con mis entradas. Su dirección es http://www.ehu.es/ehusfera/matehumor/

Encriptando sin cesar

Uno de los métodos más antiguos para cifrar mensajes es el llamado criptosistema de César. El nombre del mismo es debido a que Julio César lo usaba en sus campañas (las de guerra, no las electorales aunque, bien pensado, viene a ser lo mismo) para comunicarse con sus generales sin que nadie más pudiera enterarse del contenido del mensaje. El método que usó era muy simple pero ingenioso, cualidad rara en un militar (la de ingenioso; la de simples, en cambio, la tienen en abundancia, antes y ahora): se disponen las letras en círculo (incluyendo en el alfabeto, posiblemente, signos de puntuación y el espacio en blanco que separa las palabras), de forma que a la "z" le sigue el espacio en blanco y al espacio en blanco le sgue la "a", cerrando el círculo, lo cual siempre me ha parecido una frase estúpida, ya que mientras no se cierra del todo no es un un círculo, ¿o no? Después, a este círculo se le superpone un círculo menor, también con todas las letras dispuestas a lo largo del mismo, de forma que cada letra del círculo pequeño aparece debajo de la misma letra del círculo grande, como se ve en la primera figura de abajo. Después se hace girar el círculo pequeño hacia la derecha (o el grande hacia la izquierda, si le gusta a usted llevar la contraria) de forma que ahora los dos alfabetos aparezcan desplazados (corridos el uno respecto del otro, pero para no dar lugar a que hagan ustedes el chiste fácil usaré mejor el término "desplazados"), como podemos ver en la segunda figura de abajo. Ahora, para cifrar el mensaje, se coge (cambien aquí tambien por pudor mis lectores latinoamericanos el término por "se toma") cada letra del mensaje y se cambia por la letra del círculo pequeño que se corresponde con la letra del mensaje en el círculo grande, repitiendo esta operación hasta que el pollo esté dorado; perdón, hasta que hayamos terminado con todas las letras del mensaje. Por ejemplo, si trasladamos la rueda pequeña una unidad hacia la izquierda, la "a" se corresponde con la "b", la "b" con la "c" y así sucesivamente, hasta que, finalmente, la "z" se corresponde con el espacio en blanco y el espacio en blanco se corresponde con la "a". De esta forma, si queremos ocultar el mensaje "La lluvia en Sevilla es una pura maravilla", el correspondiente mensaje en clave sería "mbammvwjbafñatfwjmmbaftavñbaqvsbanbsbwjmmb" (no, no me he desmayado sobre el teclado, eso es lo que sale).
El criptosistema de César, en realidad, es muy fácil de romper, es decir, de trampear para saber cuálera el mensaje original. El truco del almendruco está en que, en cada idioma, cada letra tiene una frecuencia característica, de modo que si disponemos de una buena provisión de letras en el mensaje cifrado, es posible hacer una buena estimación de la frecuencia teórica de cada letra y así "adivinar" con qué letra del mensaje no cifrado se corresponde cada letra del mensaje cifrado, o si no es posible hacer esto para todas las letras, por lo menos conseguirlo con algunas de ellas por el contexto o a base de dar patadas en los cataplines a alguien que sí sepa la clave (la clave, aunque no lo he dicho antes, es el número de posiciones que se ha girado la rueda. Este dato sirve para recuperar el mensaje original. Para ello, habría que seguir el proceso inverso, girando la rueda el mismo número de posiciones pero en la otra dirección y viendo qué letra de la rueda pequeña se corresponde con cada letra del mensaje cifrado en la rueda grande. La clave es un dato secreto que sólo lo saben tres personas: el emisor del mensaje, el receptor del mensaje y la portera del edificio.)
Pese a lo poco seguro del sistema de César, éste tiene el encanto de que es uno de los métodos precursores de la criptografía moderna, de la cual quizás hable otro día.

Antes de...
Después de...

No es conmutativo

Todos sabemos que el orden de los sumandos no altera la suma, y también que el orden de los factores no altera el producto. Esto quiere decir que la suma y la multiplicación de números cumplen la propiedad conmutativa. Hay algunas operaciones abstractas, además de la suma y el producto numéricos, en las que nos da el mismo resultado si operamos un elemento a con un elemento b o si operamos b con a, es decir, que el resultado de la operación no cambia si damos la vuelta a los elementos (¡dar la vuelta al orden en que los operamos, no ponerlo boca abajo!). Cuando ocurre esto se dice que la operación cumple o satisface la propiedad conmutativa. ¡¡¡PERO CUIDADO!!!, no todo en la vida cumple la propiedad conmutativa, como muestra la conocida adivinanza de en qué se diferencia el miedo del pánico: miedo es la primera vez que no puedes por segunda vez...pánico es la segunda vez que no puedes por primera vez. En fin, que no sé si éste es un problema de potencias o de impotencias; afortunadamente, yo todavía no he experimentado ni el miedo ni el pánico, y cuando llegue el momento, pues bueno, para eso está el viagra.

Einstein y la realidad

Hay una famosa cita de Einstein sobre las matemáticas, que dice algo así como "Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad". Probablemente (¡seguramente!) esta frase ha alimentado el tópico de que las matemáticas no sirven para nada. Yo creo que lo que quiso decir Einstein era que cuando un modelo matemático se aplica para explicar una teoría física, éste es razonablemente válido tan sólo hasta que ésta es reemplazada por otra teoría más exacta y que explica mejor los fenómenos observados, es decir, que las teorías físicas tienen fecha de caducidad, como las latas de sardinas, aunque teorías "superadas", como la mecánica clásica de Newton, sigan teniendo aplicabilidad a escalas pequeñas de tiempo, de masas, de velocidades, etc.

Aunque no puedo evitar pensar maliciosamente que quizás es que en el fondo les tenía un poco de inquina a las matemáticas, a pesar que detrás de la teoría de la relatividad subyacen una buena cantidad de matemáticas avanzadas y difíciles.

Además de la ya citada, otra famosa frase filosófico-humorística sobre la realidad, atribuída a Locke y también a Hegel, dice "Si la realidad no coincide con mis palabras, peor para la realidad". Si no están de acuerdo, ¡peor para ustedes!

La explicación de la implicación

En la lógica matemática, una proposición es una sentencia que puede ser verdadera o falsa, como por ejemplo "2 y 2 son 5" o "Yo soy el hombre más guapo, simpático y modesto del mundo" (la primera es evidentemente falsa, y la segunda verdadera). Las prosiciones se suelen representar a veces mediante letras, como por ejemplo y . A partir de dos proposiciones y se puede formar una tercera proposición (que se lee implica ). Esto viene a ser lo que intuitivamente entendemos como que " es consecuencia de ", o que " se deduce de ", o que, "si , entonces ", una especie de "causalidad", ¡pero cuidado!, que en algunas cosas la definición matemática rigurosa de la implicación se distancia radicalmente de lo que a veces nos puede llevar a pensar equivocadamente la intuición, o cuando menos del sentido habitual que le damos a la implicación en la vida cotidiana. Me explico: como dije al principio, una proposición tiene que ser verdadera o falsa, y lo que lo que realmente nos interesa saber( aparte de cuál va a ser la quiniela ganadora la próxima semana) es cuándo la proposición "compuesta" es verdadera y cuándo es falsa. La definición matemática es que es verdadera siempre excepto cuando es verdadera y es falsa, es decir, que la única manera de "falsificar" la proposición es que se dé pero no se dé . Esto no siempre concuerda, como ya mencioné, con la idea "popular" que se tiene de la implicación. Por ejemplo, de la proposición "Si llueve, abro el paraguas", todos convendremos que si se pone a llover y tenemos un paraguas a mano (o a algún transeúnte cerca al que robárselo) lo más prudente es abrir el paraguas. Sin embargo, si hace un sol de justicia y abrimos el paraguas, no pasarán más de cinco minutos antes de que nos lleven al manicomio, a pesar de que, en el sentido matemático estricto, la proposición "Si llueve, entonces abro el paraguas" es cierta cuando hace sol pero aun así abro el paraguas.

El chiste, ya un clásico, que voy a contar ahora ilustra también esta diferencia de entender la implicación según se vea desde el punto de vista "matemático" o del "de andar por casa"

Se encuentran dos amigos:
-¡Hombre, Juan, cuánto tiempo sin verte!, ¿de dónde vienes?
-Hola, Pedro, vengo de mi casa, de leer el blog de las "Matemáticas de Cuchufleta". Allí he aprendido cosas muy interesantes sobre la lógica y la implicación.
-¿La lógica?¿Y qué es eso?
- Pues mira, te lo voy a explicar con un ejemplo, ¿tú tienes pecera?
-Sí, tengo una pecera muy bonita.
- Y eso es porque te gustan los peces...
-¡Claro, si no no me la habría comprado!
- Y si te gustan los peces, por extensión te gustan los animales.
- Pues sí, me gustan los animales.
- Y si te gustan los animales, te tiene que gustar la naturaleza.
-¡Claro que me gusta la natruraleza!
- Al gustarte la naturaleza, seguro que aprecias la belleza.
- ¡Por supuesto, adoro la belleza!
- Y, finalmente, si te gusta la belleza te gustarán también las mujeres.
- Me gustan más que comer con los dedos, ahí sí que has acertado. ¡Oye, qué gran invento es esto de la lógica!, no sabía que se podían saber tantas cosas utilizando la deducción.

Pedro se marcha contentísimo con su nuevo descubrimiento y, poco después, ve a otro amigo suyo. Incapaz de contener las ganas de hablar de su nuevo descubrimiento, corre a hablar con él.

- ¡Hombre, Oscar, qué alegría de verte!
-¡Hola, Pedro!, ¿cómo así estás tan contento?
- Porque hoy he aprendido lo que es la lógica.
- ¿La lógica? No sé lo que es eso.
- No te preocupes, yo te lo explico con un ejemplo, ¿tienes pecera?
- Pues no, no tengo pecera.
- ¡Entonces eso es que eres gay!




Origen de la imagen: http://elcajondesastre.blogcindario.com/2006/02/00377-cuestion-de-logica.html

Latex en blogger

A pesar del título no voy a hablar en este post de sadomasoquismo, sino de cómo los usuarios de blogger pueden beneficiarse de las ventajas del editor de textos matemáticos "Latex" (que, en realidad, es un dialecto del "Tex", más básico pero también más flexible), con el que se pueden representar fácilmente complicadas expresiones y fórmulas matemáticas repletas de subíndices, exponentes, signos de integral y demás galimatías matemáticos. Después de mucho buscar una forma sencilla de usar el latex en mi blog, he encontrado por fin la solución en la dirección http://wolverinex02.googlepages.com/emoticonsforblogger2 a través de un script que es fácil y rápido de instalar. Ahora es fácil incluír fórmulas como , con lo que el contenido matemático del blog mejorará (al menos su aspecto visual, porque lo que se dice el contenido será igual de mierdoso que siempre).

Cifras y letras

Seguro que habrán visto ustedes muchas veces en internet páginas en las que les piden que introduzcan una serie de letras y números que aparecen en un recuadrito y que parecen dibujadas por George Bush o por un niño de cinco años.

Esos recuadritos los verá cuando quiere dar de alta una página suya para que aparezca en un buscador, o cuando abre una cuenta de correo electrónico gratuita, o en muchas otras circunstancias que no enumeraré exhaustivamente por no aburrirle y, sobre todo, porque no las conozco.

El propósito de hacer esto es evitar que programas robots hagan estas operaciones automática y masivamente sin que haya un humano de carne y hueso detrás (o de carne, hueso y silicona). Por ejemplo, en el caso de las altas en buscadores, hay programas especializados en la promoción de páginas web en los que usted introduce unos datos básicos, como el título, URL, descripción del contenido de la página, palabras clave y correo electrónico del autor, y el programa automáticamente registra su página, con esos datos, en un montón de buscadores distintos, con lo que le ahorra el trabajo de hacerlo usted a mano, lo cual le ocasionaría un aburrimiento mortal y un ataque agudo de tendinitis. Así que los portales y buscadores se previenen de esto pidiéndole que usted introduzca esas cifras y letras a mano. La primera pregunta que surge es: si a los directivos de la empresa del buscador les interesa que su página o sitio web aparezca en su directorio independientemente de que haya hecho usted el registro en persona o utilizando uno de estos programas-robots, ¿entonces qué sentido tiene el andar tocando los cojones con las letritas de marras? Eso, amigos, es y seguirá siendo un misterio. Yo les adelanto una hipótesis...¿está realmente detrás de todo esto la asociación de especialistas en tendinitis?

La segunda pregunta que surge, detrás de la primera como debe ser, porque si no no sería la segunda, es la de por qué el tener que copiar las letras que usted ve en el recuadro evita que un programa pueda introducir los datos por usted. La respuesta a esto es que ES DIFÍCIL RECONOCER LETRAS ESCRITAS. Quizás usted no esté de acuerdo con esta afirmación. Al fin y al cabo, lleva reconociéndolas perfectamente bien y a la primera desde que era pequeñito (si tuviera usted que corregir un taco de exámenes periódicamente seguramente pensaría de otro modo). El hecho es es que usted le lleva cierta ventaja en eso a un ordenador, ya que su cerebro se ha ido desarrollando a lo largo de miles de años de evolución (el suyo en concreto no tantos años, a no ser que sea usted Mick Jagger, sino el de la especie). Un ordenador le dará cien mil vueltas en hacer cálculos a velocidad de vértigo o en mostrar fotos de Pamela Anderson, pero usted le superará en tareas que requieran una visión global de conjunto, como reconocer una melodía, o una fotografía (¿la misma que le mostró el ordenador?) o en captar el sentido de un texto que esté leyendo. Así que, en el caso concreto de reconocer letras a partir de sus trazos dibujados en un papel o en la pantalla, usted le gana con creces a un programa informático.

El problema es que las máquinas nos quieren hacer la competencia también en este terreno; hay una rama de la ciencia, la inteligencia artificial, que busca implementar en máquinas el tipo de inteligencia propio del ser humano. Uno de los primeros problemas que resolvió la inteligencia artificial fue precisamente el reconocimiento de caracteres, y en particular de letras y números. Ello fue posible, cómo no, gracias a la inestimable ayuda de las matemáticas (¿hay algo en lo que no estén presentes?), a través de unos dispositivos llamados redes neuronales. Las redes neuronales "imitan" el modo en que se coordinan las neuronas en el cerebro del ser humano. Las redes neuronales están formadas por unas neuronas artificiales, llamadas unidades de proceso, dispuestas en capas (normalmente, cuantas más capas haya, mayor es la complejidad de los problemas que puede resolver la red neuronal, es decir, la inteligencia de "la cosa", aunque en realidad esto es simplificar demasiado el tema, que en realidad es más complicado, pues una superabundancia de capas y unidades de proceso puede dar lugar al fenómeno no deseado del sobreentrenamiento), cada una de las cuales recibe "entradas" de otras neuronas que pueden estar en distintos niveles de actividad, desde totalmente apagadas hasta completamente activas. Las neuronas, ademas de las "entradas", también tienen una "salida" que se puede propagar a su vez a otras neuronas. Para calcular la actividad de salida se integran las actividades de entrada a través de una función de propagación (¡¡¡más matemáticas!!!), que suele ser una media ponderada a través de ciertos pesos de las actividades de entrada. Esta media ponderada se pasa después por el tamiz de una segunda función de activación y ¡voilà!, ya tenemos la actividad de salida. El modo en que se conectan unas neuronas con otras a través de dichas entradas y salidas se realiza a través de un proceso de "aprendizaje", en el que las conexiones entre neuronas se van estableciendo progresivamente a través del proceso de aprendizaje de forma que la red neuronal responda de la forma más parecida a la deseada o a la correcta (¡que no siempre es lo mismo!) que sea posible. El proceso de aprendizaje se lleva a cabo utilizando distintos algoritmos matemáticos, uno de los más populares de los cuales es el método del mínimo gradiente de cambio.

Asi que, ¡¡¡PELIGRO!!!, el sistema de las letras y números puede ser burlado con un poquito de inteligencia artificial. ¿Cuál es la solución? Ponérselo un poquito más difícil a la inteligencia artificial, de forma que se ponen en práctica, como usted ya habrá observado por sí mismo, las más maquiavélicas variantes para burlar a los programas-robots. Unas pocas de estas variantes son las siguientes: se mezclan mayúsculas con minúsculas, se tuercen las letras a derecha e izquierda, se meten entre una nube de puntos aleatoriamente dispuestos, se añaden líneas cruzadas para despistar...

¿Y tiene éxito esta estrategia? sí que lo tiene...¡Tiene DEMASIADO éxito! tanto es así que todos hemos tenido la desagradable experiencia (yo por lo menos sí que la he tenido, no sé ustedes) de meter los susodichos caracteres para después obtener un mensaje de error que dice que los caracteres introducidos no son correctos. En el segundo intento se vuelve a obtener el mismo mensaje de error, y al tercero...al tercero se les manda al carajo definitivamente, se le hace un corte de mangas a la pantalla y se va uno al cine.