Cifras y letras

Seguro que habrán visto ustedes muchas veces en internet páginas en las que les piden que introduzcan una serie de letras y números que aparecen en un recuadrito y que parecen dibujadas por George Bush o por un niño de cinco años.

Esos recuadritos los verá cuando quiere dar de alta una página suya para que aparezca en un buscador, o cuando abre una cuenta de correo electrónico gratuita, o en muchas otras circunstancias que no enumeraré exhaustivamente por no aburrirle y, sobre todo, porque no las conozco.

El propósito de hacer esto es evitar que programas robots hagan estas operaciones automática y masivamente sin que haya un humano de carne y hueso detrás (o de carne, hueso y silicona). Por ejemplo, en el caso de las altas en buscadores, hay programas especializados en la promoción de páginas web en los que usted introduce unos datos básicos, como el título, URL, descripción del contenido de la página, palabras clave y correo electrónico del autor, y el programa automáticamente registra su página, con esos datos, en un montón de buscadores distintos, con lo que le ahorra el trabajo de hacerlo usted a mano, lo cual le ocasionaría un aburrimiento mortal y un ataque agudo de tendinitis. Así que los portales y buscadores se previenen de esto pidiéndole que usted introduzca esas cifras y letras a mano. La primera pregunta que surge es: si a los directivos de la empresa del buscador les interesa que su página o sitio web aparezca en su directorio independientemente de que haya hecho usted el registro en persona o utilizando uno de estos programas-robots, ¿entonces qué sentido tiene el andar tocando los cojones con las letritas de marras? Eso, amigos, es y seguirá siendo un misterio. Yo les adelanto una hipótesis...¿está realmente detrás de todo esto la asociación de especialistas en tendinitis?

La segunda pregunta que surge, detrás de la primera como debe ser, porque si no no sería la segunda, es la de por qué el tener que copiar las letras que usted ve en el recuadro evita que un programa pueda introducir los datos por usted. La respuesta a esto es que ES DIFÍCIL RECONOCER LETRAS ESCRITAS. Quizás usted no esté de acuerdo con esta afirmación. Al fin y al cabo, lleva reconociéndolas perfectamente bien y a la primera desde que era pequeñito (si tuviera usted que corregir un taco de exámenes periódicamente seguramente pensaría de otro modo). El hecho es es que usted le lleva cierta ventaja en eso a un ordenador, ya que su cerebro se ha ido desarrollando a lo largo de miles de años de evolución (el suyo en concreto no tantos años, a no ser que sea usted Mick Jagger, sino el de la especie). Un ordenador le dará cien mil vueltas en hacer cálculos a velocidad de vértigo o en mostrar fotos de Pamela Anderson, pero usted le superará en tareas que requieran una visión global de conjunto, como reconocer una melodía, o una fotografía (¿la misma que le mostró el ordenador?) o en captar el sentido de un texto que esté leyendo. Así que, en el caso concreto de reconocer letras a partir de sus trazos dibujados en un papel o en la pantalla, usted le gana con creces a un programa informático.

El problema es que las máquinas nos quieren hacer la competencia también en este terreno; hay una rama de la ciencia, la inteligencia artificial, que busca implementar en máquinas el tipo de inteligencia propio del ser humano. Uno de los primeros problemas que resolvió la inteligencia artificial fue precisamente el reconocimiento de caracteres, y en particular de letras y números. Ello fue posible, cómo no, gracias a la inestimable ayuda de las matemáticas (¿hay algo en lo que no estén presentes?), a través de unos dispositivos llamados redes neuronales. Las redes neuronales "imitan" el modo en que se coordinan las neuronas en el cerebro del ser humano. Las redes neuronales están formadas por unas neuronas artificiales, llamadas unidades de proceso, dispuestas en capas (normalmente, cuantas más capas haya, mayor es la complejidad de los problemas que puede resolver la red neuronal, es decir, la inteligencia de "la cosa", aunque en realidad esto es simplificar demasiado el tema, que en realidad es más complicado, pues una superabundancia de capas y unidades de proceso puede dar lugar al fenómeno no deseado del sobreentrenamiento), cada una de las cuales recibe "entradas" de otras neuronas que pueden estar en distintos niveles de actividad, desde totalmente apagadas hasta completamente activas. Las neuronas, ademas de las "entradas", también tienen una "salida" que se puede propagar a su vez a otras neuronas. Para calcular la actividad de salida se integran las actividades de entrada a través de una función de propagación (¡¡¡más matemáticas!!!), que suele ser una media ponderada a través de ciertos pesos de las actividades de entrada. Esta media ponderada se pasa después por el tamiz de una segunda función de activación y ¡voilà!, ya tenemos la actividad de salida. El modo en que se conectan unas neuronas con otras a través de dichas entradas y salidas se realiza a través de un proceso de "aprendizaje", en el que las conexiones entre neuronas se van estableciendo progresivamente a través del proceso de aprendizaje de forma que la red neuronal responda de la forma más parecida a la deseada o a la correcta (¡que no siempre es lo mismo!) que sea posible. El proceso de aprendizaje se lleva a cabo utilizando distintos algoritmos matemáticos, uno de los más populares de los cuales es el método del mínimo gradiente de cambio.

Asi que, ¡¡¡PELIGRO!!!, el sistema de las letras y números puede ser burlado con un poquito de inteligencia artificial. ¿Cuál es la solución? Ponérselo un poquito más difícil a la inteligencia artificial, de forma que se ponen en práctica, como usted ya habrá observado por sí mismo, las más maquiavélicas variantes para burlar a los programas-robots. Unas pocas de estas variantes son las siguientes: se mezclan mayúsculas con minúsculas, se tuercen las letras a derecha e izquierda, se meten entre una nube de puntos aleatoriamente dispuestos, se añaden líneas cruzadas para despistar...

¿Y tiene éxito esta estrategia? sí que lo tiene...¡Tiene DEMASIADO éxito! tanto es así que todos hemos tenido la desagradable experiencia (yo por lo menos sí que la he tenido, no sé ustedes) de meter los susodichos caracteres para después obtener un mensaje de error que dice que los caracteres introducidos no son correctos. En el segundo intento se vuelve a obtener el mismo mensaje de error, y al tercero...al tercero se les manda al carajo definitivamente, se le hace un corte de mangas a la pantalla y se va uno al cine.

Lo redondo gusta

Por fin el contador de visitas de mi blog ha superado la mágica cifra de 1000 entradas. Corriendo un tupido velo sobre el hecho de que la mitad o más de ellas han sido visitas de mí mismo (parafraseando a Unamuno, soy el fan de mi propio trabajo que tengo más a mano), no deja de llenarme de orgullo y satisfacción, sobre todo por lo que me ha costado llegar a esa cifra. Quizás pase como con las grandes fortunas, que dicen que lo que más cuesta es hacer el primer millón, y de ahí en adelante los demás van llegando ellos sólos. Al hacer balance de mis primeras 1000 visitas a este blog creí, sobre todo en vista de los comentarios elogiosos que han enviado los lectores que el mismo era: brillante, agudo e ingenioso. Una consulta a mis amigos y familiares me ha mostrado en cambio que en su opinión es: aburrido, soez y misógino; pero qué se le va a hacer, aburrido o no ahí están las 1000 visitas, ¡que me quiten lo bailao!

Por lo general, el ser humano siente una especial fascinación por los números redondos, con uno o, si puede ser, con varios ceros detrás. Esto no deja de ser algo anecdótico, pues el que un número sea, según este criterio, "redondo", depende de algo tan arbitrario como que usemos un sistema de numeración en base diez. Por ejemplo, en base 5, el número 100 se escribiría como 244, que no sólo no es redondo sino que encima es de lo más corrientucho y anodino.

Se podrá uno preguntar el porqué de ese gusto por los números redondos (quizás los libros de Desmond Morris nos den una pista...) pero no se puede negar que existe. Fíjense, por ejemplo, en los premios de la lotería: no verán ningún premio gordo de 17458327 euros, que parecería más bien un número de teléfono que un premio; observará, en cambio, que siempre terminan en una suculenta cantidad de ceros, para atraer la avaricia del posible comprador de los décimos (hasta el propio término "décimos" indica un número redondo).

También los llamados milenaristas han pronosticado catástrofes con cada cambio de milenio, personas que vaticinaban que se iba a acabar el mundo al pasar de un milenio a otro; aqui hay que reconocer que, a decir verdad, hubo mucho más revuelo y catastrofismo en el año 1000 que en el 2000. La causa de esto puede ser que con la polémica de si el tercer milenio comienza en el 2000 o en el 2001 (está claro que es en el 2001, pero ese tema lo dejaremos para otro posteo) los agoreros y profetas hayan terminado cansados y sin ganas de profetizar.

Incluso, ese gusto por la redondez lo aprovechan los comerciantes y publicistas, pero en dirección contraria. Por ejemplo, es muy difícil, si no imposible, que en una tienda vea usted que algo cuesta 100 euros, o 1000 euros, o 10000 (haga la prueba, dese una vuelta por las tiendas y lo verá usted mismo o usted misma; la tarjeta de crédito le echará humo y pedirá clemencia, pero se dará cuenta); más bien, verá que las cosas cuestan 98 euros, o 970 euros, 0 9800 euros, y así sucesivamente. ¿POR QUÉ? Pues porque si le cobran un producto a 9800 euros, en realidad se lo están cobrando prácticamente a 10000, ya que 300 euros de diferencia frente a 10000 es relativamente poco (¡menos de una treintaava parte!) y es una pérdida de potencial beneficio que los comerciantes se pueden permitir a cambio de todas las ventas adicionales que van a hacer debido a que "parece" que están vendiendo el producto a un precio mucho más bajo, debido al efecto psicológico de que el tener una cifra menos hace que parezca que el precio es muuuuuuuuucho menor, cuando en realidad no es así. En este caso el comerciante "huye" de la redondez para que el precio llame menos la atención al comprador.

Sea como sea, los números redondos seguirán atrayendo a las personas mientras el hombre sea hombre (y la mujer mujer, para que no me sigan llamando machista); quizás sea una predisposición genética por simplificar y hacernos esquemas sencillos de las cosas.

El proceso

Leí hoy, a medias entre la gracia y la preocupación, el siguiente posteo en el blog de "el diario de mundo visual":

Un alumno de 17 años ha demandado a su profesor de matemáticas y a su escuela porque le encargaron tareas para las vacaciones. Al muchacho el exceso de cálculos matemáticos le arruinó el descanso. “Se supone que cuando alguien está de vacaciones no tiene que hacer tareas”, reclamó.

Su argumento es que esta preocupación le impidió disfrutar de un
trabajo de 40 horas semanales que consiguió como consejero en un campamento de vacaciones. Larson visitó junto a su padre 16 despachos de abogados pidiendo asesoría, pero todos lo rechazaron. Hasta que halló uno.


La junta escolar y las autoridades del estado tacharon esta demanda
de “frívola”, puesto que obliga a las instituciones a preocuparse de
estupideces, según ellos. Incluso la fiscal de Wisconsin, Peggy Lautenschlager, amenazó, molesta, con que ella incluso podría abolir las vacaciones. El caso tiene otro precedente. Un absurdo profesor que demandó a una escuela, finalmente fue castigado por la justicia y obligado a pagar 3.000 dólares al estado.

Parece que antes, cuando les mandabas tareas, fallaban los alumnos, pero ahora también hay que contar con el fallo del jurado; visto como está el percal, yo por lo menos me curaré en salud y a partir de ahora sólo les mandaré tareas de punto de cruz y encaje de bolillos, por lo de las barbas de tu vecino...

Las partes de las matemáticas

¿En cuántas partes se dividen las matemáticas? Bien, realmente no se puede hacer una clasificación cerrada y definitiva.
Tradicionalmente, las matemáticas "puras" se suelen dividir en tres áreas: "Álgebra", "Análisis Matemático" y "Geometría y Topología" (las "aplicadas" son harina de otro costal), y cada área a su vez comprende muchas disciplinas concretas. Dentro del álgebra, por ejemplo, tendríamos, entre otras, la teoría de grupos, la geometría algebraica (¿pertenecería ésta quizás a la Geometría?), la teoría de números algebraica, el álgebra conmutativa y muchas otras más...y lo mismo en las otras dos áreas. Ésta es la división tradicional, pero por supuesto que hay muchas materias que quizás no encajen muy bien en ninguna de las tres, o que anden a caballo entre más de una de ellas.

La UNESCO, por su parte, tiene establecida una clasificación más pormenorizada, universalmente aceptada, que se suele utilizar frecuentemente para clasificar la temática de artículos científicos publicados en revistas matemáticas, de tal manera que se puedan luego encontrar fácilmente dichos artículos según los gustos e intereses de cada uno en publicaciones como el "Mathematical Reviews", en la que uno puede estar al tanto de un vistazo sobre qué es lo último que se está cociendo en el mundillo matemático leyendo un breve resumen (un "review") de los artículos que más le interesen a cada uno (o una). En éste enlace pueden ustedes encontrar la clasificación de la UNESCO de las matemáticas (y también de otras ciencias que no tienen la suerte de formar parte de las matemáticas).

Otra clasificación más informal y erótico festiva de la ciencia puede encontrarse en la página http://ciencianet.com/chistesvarios.html, y es la que reproduzco a continuación:

Guía de bolsillo de la ciencia moderna :
1. Si es verde o repta, es biología
2. Si huele mal, es química
3. Si no funciona, es física.
4. Si no se entiende es matemáticas
5. Si no tiene sentido, es económicas o psicología.

cuéntame

¿Cuántos divisores tiene un número natural dado? Primero, observemos que si un número n divide a otro número m, entonces tambiénel opuesto -n del número n divide a m, así que nos basta contar los divisores positivos y, si gusta (no, no le estoy invitando a comer) multiplicar el resultado por dos para tener en cuenta los divisores positivos y negativos. Empecemos con el caso más simple en el que el número es primo: ¿cuántos divisores tiene un número primo p? ¡pues dos!...¿cuántos quiere que tenga? uno es el uno (valga la redundancia) y el otro el propio p. Ahora pongámoslo un poco más difícil: ¿cuántos divisores tiene un producto de dos primos distintos p y q? En este caso la respuesta es 4: los 4 divisores de pq son 1,p,q y pq. Ahora supondrá usted que voy a tratar el caso de un producto de tres primos, ya casi me lo puedo imaginar cerrando el navegador y lanzando improperios contra mi humilde persona. ¡¡¡Pues NO!!!, pasaremos a analizar de un golpe el caso general en el que el número se descompone como producto de primos en la forma m=p₁^i₁ ... p_n^i_n. Los divisores de dicho número se descompondrán a su vez, como ocurre con todos los números naturales, como producto de primos. En dicha descomposición el exponente del primo p₁ no puede pasar de i₁, pues si en en un divisor de m el exponente de p₁ sobrepasara i₁, entonces al ser m igual a ese divisor multiplicado por algo, el exponente de p₁ en m también sobrepasaría i₁, pero dicho exponente es exactamente i₁, sin que sobre ni falte nada, así que no puede ocurrir que el exponente de p₁ en dicho divisor exceda i₁. Análogamente se demuestra que el exponente de p₂ no puede sobrepasar i₂ y así sucesivamente hasta el final. Es decir, que los divisores de m son de la forma p₁^j₁ ... p_n^j_n donde j₁ está entre 0 e i₁, j₂ está entre 0 e i₂, etcétera, etcétera, y finalmente, después de unos cuantos etcéteras, j_n está entre 0 e i_n. ¿Y cuántas formas posibles hay de elegir los "jotas"? Hay i₁+1 formas de elegir j₁, hay i₂+1 formas de elegir j₂ ... hay i_n+1 formas de elegir j_n, y el número de formas de elegir conjuntamente los "jotas" es el producto de dichas cantidades, es decir, (i₁+1)(i₂+1)...(i_n+1), que es el número de divisores que estamos buscando.
Veamos un ejemplo: ¿cuántos divisores tiene 320? Como 320=2⁶.5, en este caso el número de divisores es 7.2=14 Dichos divisores son de la forma 2ⁱ.5^j con i entre 0 y 6 y j entre 0 y 1. Ahora, con un poco de paciencia, se puede decir cuáles son los divisores: 1 (2⁰.5⁰),2 (2¹.5⁰),4 (2².5⁰),8 (2³.5⁰),16 (2⁴.5⁰),32 (2⁵.5⁰),64 (2⁶.5⁰),5 (2⁰.5¹),10 (2¹.5¹),20 (2².5¹),40 (2³.5¹),80 (2⁴.5¹),160 (2⁵.5¹) y 320 (2⁶.5¹).
Para dar una de cal y otra de arena hay que reconocer que el problema de descomponer un número en producto de primos no es sencillo de resolver para números grandes (por "grandes" quiero decir realmente grandes, del orden de varios centenares de dígitos o cuando menos del orden de mis deudas con el banco) y, hoy por hoy, no se conoce ningún algoritmo que permita factorizar un número sin emplear una cantidad indecentemente grande de tiempo.
Moraleja: la bonita fórmula que hemos encontrado para la cantidad de divisores de un número, en la práctica no mejora mucho el método de ir probando con todos los números menores que él e ir contando cuántos lo dividen, ¿pero y lo que nos hemos divertido?
Por último, un ejercicio para que no se aburran: ¿cuántos divisores tiene el número 68992000?